SUKU BANYAK

Sukubanyak adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien. Sukubanyak dalam x yang berderajat n, dengan n bilangan cacah dan a_n ≠ 0, dituliskan dalam bentuk a_nxⁿ  + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + a₁x  .. + a⁰. Jika dinyatakan dalam bentuk fungsi maka penulisanya adalah : P(x) = a_nxⁿ  + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + a₁x  .. + a⁰ 

1.      Nilai Sukubanyak dan Operasi Antar Sukubanyak

Nilai Sukubanyak

Apabila sukubanyak dinyatakan dengan fungsi f(x), dan x diganti dengan bilangan h, maka bentuk f(h) adalah nilai sukubanyak tersebut untuk x=h.

Contoh soal : Diberi sukubanyak f(x) = 3x²+2x+1, maka nilai f(2) adalah ?

Jawab : f(x) = 3x²+2x+1, jika x=2, maka kita substitusikan 2 ke dalam setiap variabel x.

f(2) = 3(2)²+2(2)+1= 3.4 + 2.2 + 1 = 12 + 4 + 1= 17

Operasi Antar Sukubanyak

Operasi antar sukubanyak adalah penambahan, pengurangan, atau perkalian sukubanyak dengan menjumlahkan,mengurangkan, atau mengalikan suku-suku sejenis dari setidaknya dua sukubanyak. Materi ini tentu tidak terlalu sulit karena kita telah mempelajari penambahan,pengurangan, dan perkalian aljabar (operasi aljabar) ketika kita menduduki bangku SMP. Misalnya,  4x² dan 3x² apabila dilakukan penjumlahan maka menjadi 7x² dan kalau perkurangan menjadi x². Jika dilakukan perkalian, maka menjadi 12x⁴, dengan derajatnya 4.

Contoh soal : Diberi dua sukubanyak f(x)= 3x²+2x+2 dan g(x)= 5x²+7x+1, tentukan: 

a.      f(x) + g(x)

Jawab : f(x) + g(x) = (3x²+2x+2) + (2x²+7x+1) = 5x²+9x+3

b.      f(x) – g(x)

Jawab : f(x) – g(x) = (3x²+2x+2) – (2x²+7x+1) = 3x²+2x+2-2x²-7x-1 = x²-5x+1

c.       c. f(x) × g(x)

Jawab : f(x) × g(x) = (3x²+2x+2) × (2x²+7x+1) = 6x⁴+25x³+21x²+16x+2

2.      Pembagian Sukubanyak

Pembagian sukubanyak dapat diumpamakan seperti pembagian bilangan bulat, seperti 9:2= 4 sisa 1 atau dapat ditulis dengan 9=2 x 4 + 1. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut : yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa pembagian, atau dapat dinotasikan sebagai berikut

P(x) = Q(x) × H(x) + S(x)

Pembagian sukubanyak akan saya bagi menjadi tiga, yaitu:

a.      Pembagian Sukubanyak P(x) dengan x-h

b.      Pembagian Sukubanyak P(x) dengan (ax-b)

c.       Pembagian Sukubanyak P(x) dengan ax²+bx+c

3.      Teorema Sisa

Konsep teorema sisa mirip dengan konsep pembagian Sukubanyak. Untuk teorema sisa sendiri ada 3, yaitu teorema sisa untuk pembagi berbentuk (x-h), pembagi berbentuk   (ax-b), dan pembagi berbentuk (x-h₁)(x-h₂). Berikut adalah tiga teorema sisa:

·         Teorema 1: Jika sukubanyak P(x) berderajat n dibagi (x-h), maka sisa pembagianya adalah S=P(h).

·         Teorema 2: Jika sukubanyak P(x) berderajat n dibagi (ax-b), maka sisa pembagianya adalah  .

·         Teorema 3: Jika sukubanyak P(x) berderajat n dibagi (x-h₁)(x-h₂), maka sisa pembagianya adalah    

4.      Teorema Faktor

Untuk dapat memahami teorema faktor, kita terlebih dahulu harus memahami teorema sisa (saya jelaskan di subbab sebelumnya). Diberikan sukubanyak berikut ini

P(x) = (x-1)(x²+1) = x³-x²+x-1

Perlu anda ketahui dua hal: 1) (x-1) adalah faktor dari P(x). 2) P(1) = 0 atau sisa = 0.

Dari dua hal diatas, dapat kita simpulkan teorema faktor:

Suatu sukubanyak P(x) memiliki faktor yaitu (x-h) jika dan hanya jika P(h) = 0 atau sisanya = 0.

Pembuktian :

·         Kita ketahui dari pembagian sukubanyak bahwa P(x) = Q(x) . H(x) + S(x)

·         Dari teorema sisa kita pelajari bahwa P(x) = (x-h).H(x) + S, dengan S = P(h). Kita ketahui bahwa teorema faktor berlaku jika dan hanya jika P(h) atau sisa = 0.

P(x) = (x-h).H(x) + S

Karena P(h) = 0, maka

P(x) = (x-h).H(x)

Ini menunjukkan bahwa (x-h) adalah faktor dari P(x), jika dan hanya jika P(h) = 0

5.      Persamaan Sukubanyak

Di awal materi kita telah mengenal bentuk umum sukubanyak yaitu:

a_nxⁿ  + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + a₁x  .. + a⁰ = 0

a_n ≠ 0

Penentuan nilai x dari persamaan diatas dikenal sebagai akar-akar persamaan sukubanyak. Penentuan nilai x dapat dilakukan dengan cara skema Horner. Persamaan sukubanyak berkaitan dengan teorema faktor yaitu:

Suatu sukubanyak P(x) memiliki faktor yaitu (x-h) jika dan hanya jika P(h) = 0 atau sisanya = 0.

Menentukan Akar-akar Rasional Bulat Persamaan Sukubanyak

1.      Pengertian Akar-akar Rasional

 Apabila diketahui sebuah persamaan sukubanyak:

axⁿ  + ax^n-1 + ax^n-2 + ax  .. + b = 0

Maka akar rasional dari persamaan di atas adalah  

Sebagai contoh, apabila diketahui persamaan sukubanyak 6x³ + 5x³ – 3x – 2 = 0

Maka, akar rasional yang mungkin adalah faktor dari b/faktor dari a, yaitu ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2/3

2.      Menentukan Akar-akar Rasional Persamaan Sukubanyak P(x) = 0

Berikut ini, adalah langkah-langkah sederhana yang bermanfaat dalam menentukan akar-akar rasional dari persamaan sukubanyak P(x) = 0

Langkah 1. Hitunglah, apakah hasil penjumlahan dari koefisien-koefisien P(x) = 0?

·         Bila ya, maka x=1 adalah akar dari P(x) = 0 atau (x-1) adalah faktor dari P(x)=0.

·         Bila tidak, lanjutkan ke langkah 2.

Langkah 2. Periksa apakah penjumlahan dari koefisien variabel berpangkat genap sama

dengan jumlah dari koefisien variabel berpangkat ganjil?

·         Bila ya, maka x=-1 merupakan akar dari P(x) = 0.

·         Bila tidak, lanjutkan ke langkah 3.

Langkah 3. Tentukan akar-akar atau faktor-faktor dengan cara coba-coba.

Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Sukubanyak