HIMPUNAN

a. Pengertian Himpunan

     

Himpunan adalah salah satu konsep penting dan mendasar dalam ilmu matematika modern, dan oleh karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.

Dibawah ini adalah gambar bentuk dari irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram venn:

     
Teori himpunan yang di ciptakan pada sekitar akhir abad ke-19 ini sekarang ialah bagian yang terbesar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini adalah merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern.

Teori himpunan dapat dianggap sebagai sebuah dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika tersebut diturunkan.

b. Notasi Himpunan

Pada umumnya, nama himpunan itu ditulis dengan menggunakan huruf besar S, A dan B,sementara anggota himpunnya ditulis dengan menggunakan huruf kecil (a, c dan z).

Cara penulisan ini adalah cara yang umum dipakai, namun akan tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu.

  

Himpunan-himpunan bilangan yang sudah dikenal, yaitu seperti bilangan kompleks, riil, bulat,dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus, yaitu:

 
Simbol-simbol khusus yang dipakai di dalam teori himpunan ialah:
 
Himpunan ini dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu sebagai berikut:

• Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Apabila terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, maka dapat digunakan elipsis (…).

• Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, akan tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi dari setiap anggota himpunan tersebut.
• Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks yaitu sebagai berikut:
  

  

  Himpunan A tidak mungkin ada, karena apabila A ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun apabila bukan anggotanya,lalu bagaimana mungkin A dapat mengandung anggota tersebut.

  c. Himpunan Kosong

  Apabila himpunan {apel, jeruk,mangga,pisang} mempunyai anggota-anggota apel, jeruk, mangga, dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} mempunyai dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6.
  Maka kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini disebut yaitu himpunan kosong.
  Himpunan kosong tidak mempunyai anggota apa pun, dan ditulis sebagai:
  ..

  d. Hukum Himpunan 

  Hukum suatu himpunan yaitu terdiri dari:

• Hukum Komutatif
  • p ∩ q : q ∩ p
  • p ∪ q : q ∪ p
• Hukum Asosiatif
  • (p ∩ q) ∩ r : p ∩ (q ∩ r)
  • (p ∪ q) ∪ r : p ∪ (q ∪ r)
• Hukum Distributif
  • p ∩ (q ∪ r) : (p ∩ q) ∪ (p ∩ r)
  • p ∪ (q ∩ r) : (p ∪ q) ∩ (p ∪ r)
• Hukum Identitas
  • p ∩ S : p
  • p ∪ ∅ : p
• Hukum Ikatan
  • p ∩ ∅ : ∅
  • p ∪ S : S
• Hukum Negasi
  • p ∩ p’ : ∅
  • p ∪ p’ : S
• Hukum Negasi Ganda
  • (p’)’ : p
• Hukum Idempotent
  • p ∩ p : p
  • p ∪ p : p
• Hukum De Morgan
  • (p ∩ q)’ : p’ ∪ q’
  • (p ∪ q)’ : p’ ∩ q’
• Hukum Penyerapan
  • p ∩ (p ∪ q) : p
  • p ∪ (p ∩ q) : p
• Negasi S dan ∅
• S’ : ∅
• ∅’ : S